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Mathematics/Proof5

각 공식 1 증명 ( 뺄셈각 ) 정리 증명 그림을 그려보면, (실수!B-A가 아닌 A-B이다.) 와 같다. 좌표를 표시해 보면, (실수!B-A가 아닌 A-B이다.) 와 같다. 이 때, 두 점 사이의 거리인 d는 이다. 루트는 복잡하니 루트를 제거하기 위해 d를 제곱하면, 정리의 우항과 비슷한 모양이 되었다. A-B를 조금 더 보면 다음과 같다. 아까처럼 좌표를 표시해 보면, 마찬가지로, 1=2이므로, 증명 완료 2014. 11. 7.
피타고라스의 정리 증명 피타고라스의 정리 일때, 이다. 증명 위의 그림과 같이 빨간색 수선의 발을 빗변으로 내렸을 때,는 비율만 다른 닮은꼴 삼각형이다. 즉, 이다. 이므로, 1과 2를 더하면, 이므로, ( proved) 2014. 11. 6.
[Vectors] 벡터의 외적 - Cross Product Definition 3차원 상에 2개의 벡터 P, Q가 존재할 때, 다음과 같은 형식으로도 쓸 수 있다. Theorem 1. a가 두 벡터 P, Q 사이의 각을 나타낼 때, Proof. 먼저 Cross Product가 어떤 의미를 지니는지 모르겠으니, 무식하게 한번 풀어보자. 복잡하니깐 근호를 제거하기위해 제곱. 복잡한건 마찬가지. 이렇게 계속 진행해 나가도 Theorem 내의 sin(a)는 유도할 수 없다. 이놈을 어디서 유도할 수 있을까. 사실 이 정리를 처음 봤을 때 인상은 Dot Product와 굉장히 닮았다는 것. 그리고 거기에는 cos(a)가 있다. cos이 있다는건 sin을 유도할 수 있다는 뜻. 그 역도 마찬가지이다. Theorem으로 시작하여 다행히 새로운 공식을 얻을 수 있었다. 그리고.. 2013. 7. 19.
[기하학] 선분-원 충돌 검사(Line Circle Collision Check) 선분과 원의 충돌 검사를 하기 위해선 먼저 직선과 원의 충돌 검사를 한 후 충돌지점이 선분의 영역에 포함되는지 검사해야 한다. 따라서 먼저 직선과 원의 충돌 검사를 해보자. 직선과 원의 충돌 지점은 직선의 방정식과 원의 방정식의 해를 푸는 것이겠다. 선(A, B)의 방정식 원(C, r)의 방정식 해를 구하기 위해서 먼저 원의 방정식을 풀어 보자. 그 다음에 선의 방정식을 X에 대입한다. 이 방정식을 만족시키는 t가 있으면 직선과 원이 충돌하는 것이고, 그 t를 직선의 방정식에 대입해 정확한 충돌 지점까지 구할 수 있다. 그럼 위 공식을 t에 대해 정리해보자. 정리하고 보니 2차 방정식이다. 근의 공식을 이용해 t를 구해보자. 에서 근의 공식에서 가 < 0 이면 해가 없고, = 0 이면 해가 1개(접선),.. 2013. 7. 12.
[Vectors] 벡터의 내적 - Dot Product Definition \[ P\cdot Q = \sum_{i=1}^{n} P_i Q_i \] Theorem 1. \(\alpha\)가 두 벡터 \(P, Q\) 사이의 각을 나타낼 때, \[ P \cdot Q = \| P \| \| Q \| \cos \alpha \] proof. dot product의 의미를 알지 못하기 때문에 먼저 그림을 그려 정의가 가진 의미를 찾아보자. 그려보니 cos을 유도할 수 있는 방법이 생겼다. 2013. 5. 16.