[Vectors] 벡터의 내적 - Dot Product

Definition

\[ P\cdot Q = \sum_{i=1}^{n} P_i Q_i \]

Theorem 1.

\(\alpha\)가 두 벡터 \(P, Q\) 사이의 각을 나타낼 때, \[ P \cdot Q = \| P \| \| Q \| \cos \alpha \]

proof.

dot product의 의미를 알지 못하기 때문에 먼저 그림을 그려 정의가 가진 의미를 찾아보자.

그려보니 cos을 유도할 수 있는 방법이 생겼다.

\( |P-Q| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} (Pi-Qi)^2} \)

루트를 제거하기 위해 양 변을 제곱하면,

\( |P-Q|^2 = \sum_{i=1}^{n} (Pi-Qi)^2 \)

   \( = \sum{Pi^2} + \sum{Qi^2} - 2\sum{Pi Qi} \)

dot product의 정의에 의해,

   \( = \sum{Pi^2} + \sum{Qi^2} - 2P \cdot Q \)

\( |P-Q|^2 = |P|^2 + |Q|^2 - 2P \cdot Q \) ..........................................(1.1)

피타고라스의 정리에 의해,

\( |P-Q|^2 = (|Q|-|P|\cos\alpha)^2 + (|P|\sin\alpha)^2 \)

   \( = |Q|^2 + |P|^2\cos^2\alpha - 2|P||Q|\cos\alpha + |P|^2\sin^2\alpha \)

   \( = |Q|^2 + |P|^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha) - 2|P||Q|\cos\alpha \)

   \( = |Q|^2 + |P|^2 - 2|P||Q|\cos\alpha \)

\( |P-Q|^2 = |Q|^2 + |P|^2 - 2|P||Q|\cos\alpha \)....................................(1.2)

(1.1)과 (1.2)에 의해,

\( |P|^2 + |Q|^2 - 2P \cdot Q = |Q|^2 + |P|^2 - 2|P||Q|\cos\alpha \)

\( -2P \cdot Q = - 2|P||Q|\cos\alpha \)

\( P \cdot Q = |P||Q|\cos\alpha \) ..................................................... ( proved )

Math Jax를 처음으로 사용하여 글을 써본다. 시간이 정말 오래 걸리는데, 확실히 깔끔하게 정리된다. 익숙해지면 빨라질까?